A Origem dos Números - Como tudo começou.

Para compreendermos melhor a evolução dos números, vamos ampliar nossos estudos assistindo uma excelente vídeo sobre a História do Número 1.

Determinante de Matriz Ortogonal

Análise Real

Curso de Analise Real Vol 1, Elon Lages Lima Exercıcios Resolvidos

Capıtulo 1

Questao 1

Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades : 1o X ⊃ A e X ⊃ B 2o Se Y ⊃ A e Y ⊃ B entao Y ⊃ X. Prove que X = A∪B. Demonstracao. “⊃” A ∪ B ⊂ X Seja ω ∈ A ∪ B, temos que ω ∈ A ou ω ∈ B Se ω ∈ A, entao ω ∈ X pois A ⊂ X pela 1a propriedade Se ω ∈ B, entao ω ∈ X pois B ⊂ X pela 1a propriedade Com isso, concluımos que qualquer que seja ω ∈ A ∪ B, temos que ω ∈ X Portanto A ∪ B ⊂ X

Exercício de Combinatória

1) De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base de proteínas, pretendo fazer o meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de sorte que contenha ao menos 2 proteínas. Qual é o número máximo de pratos distintos que poderei fazer?

Se não houvesse a restrição das duas proteínas, o cálculo seria simplesmente C_10, 5:

Mas como há tal restrição, devemos descontar deste total o número de pratos que só contém carboidratos, que é igual a C_6, 5:

Não podemos nos esquecer de que também podemos montar pratos contendo apenas um item de proteína, então devemos desconsiderá-los também. Estes pratos são o produto de C_6, 4, referentes aos quatro itens de carboidrato, por C_4, 1, referentes ao único item de proteína:

Multiplicando as combinações:

Podemos formar então 6 pratos sem qualquer item de proteína e mais 60 pratos com somente um item de proteína. Então de 252 que é o número total de combinações possíveis sem a restrição, devemos subtrair 66 pratos para obtermos a resposta do exercício, ou seja, 186.

Poderíamos ter resolvido este exercício de uma outra maneira. Vamos lhe explicar como e vamos lhe dar o resultado, mas o desenvolvimento em si você mesmo deverá fazer, para que consiga fixar melhor os conhecimentos adquiridos. Por favor, não deixe de fazê-lo.

O produto C_6, 3 . C_4, 2 = 20 . 6 = 120 nos dá o total de pratos contendo 3 itens de carboidrato e 2 itens de proteína.

Já o produto C_6, 2 . C_4, 3 = 15 . 4 = 60 é igual ao total de pratos contendo 2 itens de carboidrato e 3 itens de proteína.

Por fim o produto C_6, 1 . C_4, 4 = 6 . 1 = 6 resulta no total de pratos contendo 1 item de carboidrato e 4 itens de proteína.

Somando 120, 60 e 6, obtemos o mesmo resultado obtido anteriormente.

Portanto:

O número máximo de pratos distintos que poderei fazer, contendo ao menos dois itens de proteína, é igual a 186 pratos.

Fórmula de Herão para o cálculo da área de um triângulo

                  Herão (ou Heron) de Alexandria teve grande destaque na matemática aplicada. Há muita controvérsia a respeito da época exata em que viveu, havendo estimativas que variam de 150 a.c a 250 d.c. Desenvolvel um grande número de trabalhos sobre matemática e física.
               
                 Trataremos, agora, somente da fórmula para o cálculo da área de um triângulo quando são conhecidos seus lados, que segundo os árabes esta fórmula já era conhecida por Arquimedes de Siracusa (287-212 a.c).

                 Considere o triângulo ABC dado abaixo:

Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos AHB e AHC, respectivamente, obtemos:

c² = h² + m²   e    b²  = h² + ( a - m )²    donde      m = (a²  +  c²  -  b²) / 2a

Em   h²  =  c²  -  m² , substituindo o valor de m obtido anteriormente, vem:
                                                   h²  = c²  -  (a²  + c²  -  b²)/2a

Fatorando esta expressão, podemos escrever:

                            h² = (c + (a² + c² - b²)/2a)(c - ( a² + c² - b²)/2a)

                                                                ou

          h² = (( 2ac + a² + c² - b²)/2a)((2ac - a² - c² + b²)/2a) = ((a + c)² - b²)(b² - (a - c)²)/4a²

Denotando por 2p = a + b + c o perímetro ABC, o semiperímetro do referido triângulo é dado por

                                              p = (a + b + c) /2
e daí,
                             a + c - b = a + b + c - 2b = 2p - 2b = 2 (p - b)

Analogamente,
                             b + a - c = 2 (p - c)
                                           e
                             b - a + c = 2 (p - a)

Substituindo esses valores na última expressão de h², vem:

                      h² = 2p.2( p - b )2( p - c )2( p - a )/4a²
donde:
                      h = a/2 .Raiz quadrada de (p (p - a)(p - b)(p - c)

Designando por S a área do triângulo ABC, teremos:

S= ah/2 = a2/2a . Raíz quadrada de (p( p - a )( p - b)( p - c)

Finalmente, temos:
 

Fui!!!

Função Quadrática

As coordenadas do vértice da parábola f(x)=x²-4x +3 são:

a)(3,7)

b)(9,1)

c)(2,-1)

d)(-4,3)

solução:

Temos como raízes da função x = 1 e x = 3,

Tirando a média aritmética das raízes encontramos o ponto x = 2, logo em seguida substitui-se x=2 na função e obtemos y = -1.

Como a > 0,  a concavidade da parábola é voltada para cima tendo como coordenada do vértice o ponto (2,-1), sendo o ponto mais baixo da função.

Resposta:C

Potenciação

Estatística - #1/7 - Aprenda sobre Média Aritmética

Porcentagem e Regra de três

(Moura Melo - Professor B - 2006)

O Capital de R$2.400.000,00 está para seus juros assim como 4 está para 3. Determine a taxa anual de juros, considerando que o capital esteve empregado durante 2 anos e 6 meses.

a) 20%
b) 40%
c) 30%
d) 60%

Solução:

C= R$2.400.000,00
J=
i=
t= 2 anos e 6 meses => t = 30 meses

Regra de três:
2400000:J = 4 : 3

J = 1800000

J = Cit  =>  i = j/Ct   => i = 180000/2400000x30  => i = 1/40  => i = 0,025 ou 2,5 % a.m

Passando para taxa anual  2,5 x 12 = 30, ou seja i = 30 % a.a.

Alternativa C.

Fui!!!

Resolução de Sistema por Escalonamento

(SME/RJ - Professor I 2006)
24) Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$42,00. Considerando-se que cada uma das mercadorias tem preço único, o preço do consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta é:

a) R$13,50
b) R$11,50
c) R$10,50
d) R$9,50

Solução:

Quantidade de sanduíches: x
Quantidade de xícaras: y
Quantidade de tortas: z

Assim temos o sistema:     3x + 7y + 1z = 31,5
                                        4x + 10y + 1z= 42

Resolvendo o sistema por escalonamento de matrizes:

(3  7   1   31,5)    L.2
(4  10  1  42   )
___________

(6  14  2  63)   L  -  l
(4  10  1  42)
___________

(2  4    1  21)    2L - l
(4  10  1  42)
___________

(4  8  2   42)    L:2  - l
(0  2  -1  0)
__________

(2  2  2   21)
(0  2  -1   0)  
__________

Tomando a primeira linha do sistema, temos: 2x + 2 y + 2z = 21  : (2)  =>  x + y + z = 10,5

logo a resposta é a letra C.

Fui!!!

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Norma de um Vetor

SME/RJ - Professor I

Um círculo de área C e um triângulo equilátero de área T têm o mesmo perímetro. A razão C/T tem, portanto, o seguinte valor:

(área do círculo) C= pi.r²            (perimetro do circulo) c =2.pi.r
(área do triângulo) T = b.h/2          (perímetro do triângulo equilátero) P= 3b

Igualando os perímetros, temos:

2.pi.r = 3b
b= 2.pi.r/3

altura do triângulo equilátero:
h = b.(3)¹/²/2

realizando todas as substituições necessárias, deixaremos nossa expressão assim:

C/T = 3. (3)¹/²/pi

Fui!!

Exercício de Matemática Financeira

1) Gustavo aplicou um capital de R$3.000,00 em dois bancos. No primeiro, aplicou uma parte a
juros simples, à taxa de 8% a.m., por seis meses e, no segundo, aplicou o restante também a
juros simples, por oito meses, à taxa de 10% a.m. Determine o quanto foi aplicado em cada
banco, sabendo que o total dos juros auferidos foi de R$1.824,00.

J=Cit

J = juros
C = Capital
i = taxa de juros
t = tempo de aplicação

J = C . 0,08 . 6 => J = C . 0,48
j = c . 0,1 . 8 => j = c . 0,8

C + c = 3000 => C = 3000 - c

J + j = 1824

C.0,48 + c.0,8 = 1824
(3000 - c)0,48 + c0,8 = 1824
1440 - c0,48 + c0,8 = 1824
c0,32 = 384
c = 1200,00 reais

C = 3000 - 1200 = 1800 reais

Fui!!!!

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