Fórmula de Herão para o cálculo da área de um triângulo

                  Herão (ou Heron) de Alexandria teve grande destaque na matemática aplicada. Há muita controvérsia a respeito da época exata em que viveu, havendo estimativas que variam de 150 a.c a 250 d.c. Desenvolvel um grande número de trabalhos sobre matemática e física.
               
                 Trataremos, agora, somente da fórmula para o cálculo da área de um triângulo quando são conhecidos seus lados, que segundo os árabes esta fórmula já era conhecida por Arquimedes de Siracusa (287-212 a.c).

                 Considere o triângulo ABC dado abaixo:

Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos AHB e AHC, respectivamente, obtemos:

c² = h² + m²   e    b²  = h² + ( a - m )²    donde      m = (a²  +  c²  -  b²) / 2a

Em   h²  =  c²  -  m² , substituindo o valor de m obtido anteriormente, vem:
                                                   h²  = c²  -  (a²  + c²  -  b²)/2a

Fatorando esta expressão, podemos escrever:

                            h² = (c + (a² + c² - b²)/2a)(c - ( a² + c² - b²)/2a)

                                                                ou

          h² = (( 2ac + a² + c² - b²)/2a)((2ac - a² - c² + b²)/2a) = ((a + c)² - b²)(b² - (a - c)²)/4a²

Denotando por 2p = a + b + c o perímetro ABC, o semiperímetro do referido triângulo é dado por

                                              p = (a + b + c) /2
e daí,
                             a + c - b = a + b + c - 2b = 2p - 2b = 2 (p - b)

Analogamente,
                             b + a - c = 2 (p - c)
                                           e
                             b - a + c = 2 (p - a)

Substituindo esses valores na última expressão de h², vem:

                      h² = 2p.2( p - b )2( p - c )2( p - a )/4a²
donde:
                      h = a/2 .Raiz quadrada de (p (p - a)(p - b)(p - c)

Designando por S a área do triângulo ABC, teremos:

S= ah/2 = a2/2a . Raíz quadrada de (p( p - a )( p - b)( p - c)

Finalmente, temos:
 

Fui!!!